Análisis del movimiento de un péndulo físico utilizando el teléfono inteligente

En este artículo, junto a Cecilia y Arturo, analizamos el movimiento de un péndulo físico en régimen de rotaciones, y en régimen de oscilaciones de grandes y pequeñas amplitudes, mediante el uso simultaneo de los sensores de aceleración y giro de un smartphone con Android.

Publicado en la revista Educación en Física 8(5), 37-43, 2015, de la Asociación de Profesores de Física del Uruguay,

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Análisis del movimiento de un péndulo físico utilizando un teléfono inteligente.

Martín Monteiro(a), Cecilia Cabeza(b) and Arturo C. Martí(b)

(a)Universidad ORT Uruguay
(b)Instituto de Física, Facultad de Ciencias
Universidad de la República, Uruguay.


Resumen
Un sistema físico paradigmático como es el péndulo físico se estudia usando los sensores de aceleración y rotación disponibles en los teléfonos inteligentes (smart-phones) y en otros dispositivos como Ipads, o tablets. En nuestra experiencia un teléfono inteligente se fija en la parte exterior de una rueda de bicicleta y se pone en movimiento tanto en régimen de rotación (dando vueltas completas en una dirección) como de oscilación ya sea de pequeños o de grandes ángulos. Gracias a los sensores se obtienen medidas de aceleración y velocidad angular según diferentes ejes solidarios con el teléfono. El uso simultáneo de estos sensores permite además obtener trayectorias en el espacio de fases y visualizar las diferentes características del movimiento. Esta metodología puede ser extendida a diversas experiencias: péndulo simple, péndulo elástico, oscilaciones acopladas, trompo o giróscopo. El uso de dispositivos habituales para los estudiantes secundarios, como son los teléfonos inteligentes, contribuye a reducir la brecha en la Ciencia como práctica inaccesible que se desarrolla en ámbitos especiales y la experiencia cotidiana.


Palabras clave
Péndulo físico, Oscilaciones, Rotaciones, Sensores


A. Introducción:

El empleo de teléfonos inteligentes y otros dispositivos similares se ha extendido vertiginosamente en los últimos años en todo el mundo. Esta revolución impactó también en los laboratorios donde diversas experiencias se ven facilitadas por el uso de los sensores con que habitualmente cuentan estos dispositivos. Recientemente, en varios artículos [1-8], el empleo de teléfonos inteligentes ha sido propuesto en varias experiencias que abarcan temáticas de mecánica, electromagnetismo, óptica, oscilaciones y ondas entre otras.

A pesar que la mayoría de los trabajos citados anteriormente se centran en experiencias de mecánica, un aspecto que ha recibido menos atención es el uso de los sensores de rotación o giroscopios. En efecto, el uso de estos sensores permite obtener las diferentes componentes de la velocidad angular según los diferentes ejes solidarios con el dispositivo. En un trabajo muy reciente [9], se estudia el momento angular de una pequeña mesa giratoria rotando en un plano horizontal. En el transcurso de la experiencia reportada, se colocan repentinamente masas a diferentes distancias del centro de rotación y se consideran las variaciones en el momento angular y en la energía cinética.

Un paso adelante en el aprovechamiento de estos dispositivos se presenta con la posibilidad de usar simultáneamente los sensores de aceleración y rotación midiendo dos coordenadas generalizadas independientes como proponen los autores de este trabajo en la referencia [10, 11, 12]. Esta medida simultánea, permite, en el caso relativamente más sencillo de sistemas con un grado de libertad, la obtención de dos coordenadas independientes y de esta forma obtener trayectorias en el espacio de fases. El espacio de fases es un concepto central en los cursos de mecánica clásica [13] y la posibilidad de explorar el mismo contribuye a la comprensión de un concepto abstracto.

B. El péndulo físico

El estado de un sistema mecánico se puede representar por un punto único en el denominado espacio de fases [13]. Este espacio está constituido por todos los posibles valores de las coordenadas generalizadas y de sus variables conjugadas (o momentos generalizados). Por ejemplo, para una coordenada lineal el momento conjugado es la cantidad de movimiento lineal en la misma dirección, o en el caso de una coordenada angular el momento generalizado es el momento angular correspondiente. Habitualmente en los problemas físicos, si bien hay elecciones más acertadas que otras, las coordenadas generalizadas pueden ser escogidas de diversas formas. En los cursos avanzados de mecánica se demuestra que es posible, en principio, aplicar un conjunto de cambios de variables muy generales denominados transformaciones canónicas. Bajo estas transformaciones se puede incluso cambiar las coordenadas en momentos conjugados y viceversa.

Recordemos que un péndulo físico se define como un cuerpo rígido que oscilar en un plano alrededor de un eje horizontal bajo el efecto de la fuerza de la gravedad. Es un sistema con solamente 1 grado de libertad pues la ubicación del péndulo queda determinada por el ángulo de giro \( \theta \) , variable que normalmente se toma como coordenada generalizada. Para determinar el estado de dinámico precisamos conocer además del ángulo \( \theta \) la variable conjugada, en este caso es el momento angular \( I \omega \) donde \( I \) es el momento de inercia.

Para resolver el problema, es decir determinar la evolución temporal de las  variables \( \theta (t) \) y \( \omega (t) \) se puede resolver la ecuación diferencial ordinaria obtenida a partir de la Segunda Ley de Newton. Alternativamente, resulta más cómodo emplear la conservación de la energía

\[ E = \frac{1}{2}  I \omega^2 + m g R \left ( 1 - cos \theta \right) \]

donde m es la masa y R es la distancia del centro de masas al centro de giro. En el caso en que el péndulo oscila con pequeñas amplitudes el segundo término del miembro derecho de la ecuación puede ser aproximado como \( cos \theta \approx 1 - \frac{\theta^2}{2} \) , y la energía resulta

\[ E = \frac{1}{2} I \omega^2 + m g R \frac{\theta^2}{2} \]

A partir de la ecuación de movimiento: \( - R m g sen \theta = I \dot \omega \) y la aproximación de ángulos pequeños, \( sen \theta \approx \theta \) obtenemos

\[ E = \frac{1}{2} I \omega^2 + \frac{1}{2} \frac{I^2}{m g R} \dot \omega^2 \]

Esta relación indica que las trayectorias en el espacio de fases están dadas por elipses en \( \omega \) y en la aceleración tangencial \( a_t \) (proporcional a \( \dot \omega^2 \) ).


C. Montaje experimental.

El sistema experimental elegido consiste en un teléfono inteligente montado en una rueda de bicicleta que pude girar libremente en un plano vertical como muestra la figura 1. En nuestra experiencia usamos un LG optimus P990 2X (Sensores: 3-axis acelerometro KXTF9 Kionix, precisión 0.001 m/s2, 3-axis giroscopio MPU3050 Invensense, precisión 0.0001 rad/s) que funciona bajo el sistema operativo Android. Como aplicación para registrar los valores medidos por los sensores se escogió Androsensor [14], otras posibilidades disponibles son Sensor Kinetics, Z-Device Test. 

Habitualmente los sensores miden todas las componentes de las magnitudes vectoriales según 3 ejes, x,y,z orientados como si estuvieran dibujados sobre la pantalla del celular. Las medidas que se emplean en este trabajo son las del sensor de rotación según el eje x y los de la aceleración según los ejes y y z, que corresponden con las aceleraciones tangencial y radial respectivamente. Una vez registrados los datos es posible descargarlos en una computadora y analizarlos utilizando un programa apropiado. 

 Fig. 1 Teléfono inteligente montado sobre una rueda de bicicleta en un plano vertical (izquierda), esquema mostrando la disposición de los ejes (centro) y captura de pantalla de la aplicación Androsensor (derecha).



D. Análisis del movimiento.

Una vez obtenidas las medidas pueden ser analizadas por diversos procedimientos. En este trabajo optamos por comenzar con una representación del espacio de fases como puede apreciarse en la figura 2. Para hacer uso directo de las medidas obtenidas por los sensores, la velocidad angular \( \omega \) y la aceleración tangencial \( a_t \) se emplean como la coordenada generalizada y su variable conjugada. En esta gráfica, dos comportamientos cualitativamente distintos, como ser rotaciones y oscilaciones, pueden distinguirse. Al comienzo del movimiento, representado por la línea continua, la rueda está rotando dando vueltas completas siempre en la misma dirección. A medida que transcurre el tiempo la energía se va disipando como consecuencia del rozamiento y, en determinado momento, cuando el signo de la velocidad angular se invierte por primera vez (indicado por el pequeño círculo), la rueda comienza a oscilar alrededor del punto de equilibrio estable (líneas a trazos). Finalmente, cuando la amplitud es suficientemente pequeña, el movimiento es armónico simple y las trayectorias en el espacio de fases se aproximan a elipses. 

Fig. 2. Trayectorias típicas en el espacio de fases representado utilizando la aceleración tangencial y la velocidad angular como coordenadas generalizadas. Se distingue el movimiento de rotación (líneas continuas) y de oscilaciones grandes y pequeñas amplitudes (líneas a trazos, ver referencias). 


El mismo comportamiento cualitativo puede inferirse gracias a la figura 3 donde la aceleración radial \( a_r \) y la velocidad angular \( \omega \) se grafican simultáneamente en función del tiempo. Al comienzo de la gráfica, la rueda en rotación ejecuta vueltas completas en una dirección. Como se mencionó antes, cuando una cierta cantidad de energía se disipa la velocidad angular disminuye y aproximadamente en \( t = 30 s \), indicado igualmente por el pequeño círculo en la figura, la velocidad angular se anula por primera vez, la rueda invierte su sentido de giro y comienza a oscilar alrededor del punto de equilibrio estable.

Fig. 3. Gráfica de la aceleración radial (eje izquierdo, línea continua) y la velocidad angular (eje de la derecha, línea a trazos) en función del tiempo. En la etapa inicial cuando la energía supera el umbral requerido, la rueda gira dando vueltas completas en una dirección. En el tiempo indicado con el círculo pequeño, la velocidad angular cambia su signo y la rueda empieza a oscilar alrededor del punto de equilibrio. Al final del movimiento, cuando la amplitud de las oscilaciones es pequeña se observa un movimiento armónico simple.


Otro aspecto a notar en esta gráfica, es que los mínimos de la aceleración radial, que se dan cuando el celular está en el punto más alto no tienden a cero (como sería de esperar cuando la rueda está casi detenida) sino que tiende a \( -10 ms^{-2} \), esto se debe a la forma en que miden los sensores. Este aspecto es consecuencia de que los sensores de aceleración, de hecho, son sensores de fuerza [2]. Lo mismo se puede notar al final de las oscilaciones en que la aceleración oscila en torno a un valor de \( 10 ms^{-2} \), en lugar de \( 0 ms^{-2} \). Otro comentario que vale la pena mencionar es que debido a las limitaciones de los sensores en los primeros 20 segundos la aceleración máxima satura al rango del sensor ( \( 20 ms^{-2} \) ). 

Para completar el análisis en la figura 4, la velocidad angular elevada al cuadrado que resulta proporcional a la energía cinética, se grafica en función del tiempo. También se muestran dos ajustes exponenciales de los máximos y los mínimos relativos. Estos ajustes evidencian que la energía disminuye en una primera aproximación en forma exponencial. Antes de \( t=30 s \), cuando la rueda está rotando, los máximos y los mínimos relativos se alcanzan cuando el teléfono pasa por los puntos más bajo y más alto respectivamente. Luego del punto verde, cuando la rueda está oscilando, los mínimos relativos coinciden con los puntos de retroceso o ceros de la velocidad angular, mientras que los máximos relativos corresponden a los instantes en que el teléfono pasa por el punto más bajo en una dirección o la opuesta de acuerdo al signo de la velocidad angular. 

Fig. 4. Evolución temporal de la velocidad angular elevada al cuadrado (linea continua), magnitud proporcional a la energía cinética. Se incluyen dos curvas exponenciales (líneas a trazos) ajustadas a los máximos y mínimos de la energía cinética. 


E. Conclusiones.

Para concluir señalamos que el uso de sensores de rotación permite un espectro amplio de medidas aplicables en distintas experiencias de mecánica. Las potenciales aplicaciones se multiplican si consideramos el uso simultáneo de sensores de aceleración y rotación que permite, entre otros aspectos, acceder al espacio de fases y obtener una representación física de un concepto abstracto. 

Referencias:

[1] Patrik Vogt, Jochen Kuhn, and Sebastian Müller, "Experiments Using Cell Phones in Physics Classroom Education: The Computer-Aided g Determination," Phys. Teach. 49, 383 (Sept. 2011).
[2] Patrik Vogt and Jochen Kuhn, "Analyzing free fall with a smartphone acceleration sensor," Phys. Teach. 50, 182 (March 2012).
[3] Patrik Vogt and Jochen Kuhn, "Analyzing simple pendulum phenomena with a smartphone acceleration sensor," Phys. Teach. 50, 439-440 (Oct. 2012). 
[4] Jochen Kuhn and Patrik Vogt, "Analyzing spring pendulum phenomena with a smart-phone acceleration sensor," Phys. Teach. 50, 504 (Nov. 2012).
[5] Jefferson W. Streepey "Using iPads to illustrate the impulse-momentum relationship," Phys. Teach. 51, 54 (Jan. 2013).
[6] Patrik Vogt and Jochen Kuhn "Analyzing radial acceleration with a smartphone acceleration sensor," Phys. Teach. 51, 182 (March 2013).
[7] Jochen Kuhn, Patrik Vogt, "Smartphones as experimental tools: Different methods to determine the gravitational acceleration in classroom physics by using everyday devices," Eur. J. Phys. Educ. 4, 16 (2013).
[8] Joel Chevrier, Laya Madani, Simon Ledenmat, and Ahmad Bsiesy, "Teaching classical mechanics using smartphones," Phys. Teach. 51, 376 (Sept. 2013).
[9] Asif Shakur and Taylor Sinatra, “Angular momentum,” Phys. Teach. 51, 564 (Dic. 2013).
[10] Monteiro, M., Cabeza, C., & Martí, A. C. (2014). Exploring phase space using smartphone acceleration and rotation sensors simultaneously. European Journal of Physics, 35(4), 045013.
[11] M. Monteiro, Cecilia Cabeza, Arturo C. Martí. Rotational energy in a physical pendulum, Physics Teacher, v.: 52, p.: 180 - 181, 2014.
[12] Monteiro, Martín, Cabeza, Cecilia & Marti, Arturo C. (2015)"Acceleration measurements using smartphone sensors: Dealing with the equivalence principle." Revista Brasileira de Ensino de Física, 37(1), 1303. 
[13] J. B. Marion and S.T. Thornton, Classical dynamics of particles and systems, 5th ed. (Cengage Learning, 2003).
[14] Diversas aplicaciones disponibles en el sitio de Google Play, http://play.google.com, permiten registrar los valores medidos por los sensores en función del tiempo.

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