Tensión superficial en un globo de goma analizada mediante smartphone

Qué sensación extraña (por no decir de pesadumbre) se tiene cuando aparece publicada una idea que uno tenía guardada en el cajón de los pendientes desde hacía algún tiempo (y no es la primera vez).
Esta idea era muy sencilla, explorar el comportamiento de la tensión superficial de un globo de goma midiendo con un smartphone la presión interior en función del radio. En The Physics Teacher, "On the inflation of a rubber balloon", Julien Vandermarlière acaba de publicar un artículo con la misma idea, aunque con un análisis diferente. Vandermarlière analiza la relación entre presión y radio. En este borrador analizábamos, además, el comportamiento de la tensión superficial. Dada la circunstancia, pues, comparto aquí el borrador sacado del "cajón de pendientes".

Cuando se infla un globo se puede observar que para ciertos tamaños es más fácil inflarlo a medida que aumenta el radio y finalmente se hace más difícil para tamaños muy grandes, cercanos al límite antes de romperse.

Una sencilla investigación se puede llevar adelante con ayuda del sensor de presión de un smartphone (barómetro), con el cual se puede medir la presión en el interior del globo para diferentes tamaños. En este caso utilicé un Nexus 5 con la app Physics Toolbox de Vieyra Software.

Como la pantalla del smartphone es difícil de visualizar dentro del globo (a pesar de cierta transparencia de la goma), utilicé la app Airmore, que permite manejar el dispositivo en forma remota y enviar la pantalla del smartphone a la computadora. Dicho sea de paso, esta app es muy útil en educación para hacer demostraciones, por ejemplo para mostrar el funcionamiento de los sensores del smartphone o para hacer prácticas de laboratorio colectivas.

Una forma de utilizar Airmore para conectar el smartphone con la computadora es mediante el uso de una misma red wifi. En el navegador de la computadora se accede al sitio web.airmore.com donde aparecerá un código QR (fig. 2). Se inicia la app Airmore en el smartphone, se elige "Scan to connect" y se dirige la cámara hacia el código QR con lo cual se establece la conexión entre ambos dispositivos (fig 3). Para visualizar la pantalla del smartphone se elige en la computadora la opción "Reflector". A partir de ese momento la pantalla del smartphone aparecerá en la computadora. Accedemos a la app Physics Toolbox, elegimos el sensor barómetro (fig 4) y ya estamos listos para comenzar a medir presiones (fig 5).
Atención: El smartphone debe tener instalado Android 5.0 o superior para que la función Reflector de Airmore funcione.

Introducimos con cuidado el smartphone dentro del globo (fig. 6) y tomamos medidas de presión para diferentes diámetros. En la primera gráfica (fig. 7), se pueden apreciar las medidas de sobrepresión \( \Delta p \) (diferencia entre la presión interior ( \( p \) ) y la presión exterior (\( p_0 \))) en función del radio relativo (cociente entre el radio \( R \) y el radio del globo desinflado \( R_0 \) ).

\[ \mbox{Radio relativo} = \frac{R}{R_0} \]
(1)
\[\Delta p = p - p_0 \]
(2)

Se puede verificar que cuando el radio es del orden del doble del radio natural, la sobrepresión disminuye al aumentar el radio  (en esa región es más fácil inflar el globo a medida que aumenta el radio). Además se puede observar que en esa región la sobrepresión es casi inversamente proporcional al radio (curva roja).

\[ \Delta p = \frac{cte.}{R} \mbox{   (válido para } R \approx 2 R_0 \mbox{)} \]
(3)

Tensión superficial:
Fig. 1 - Fuerzas que actúan sobre la membrana de goma del globo. \( F_p \) es la fuerza debida a la diferencia entre la presión interior \( P \) y la presión exterior \( P_0 \)\( F_{\tau} \) es la fuerza debida a la tensión superficial \( \tau \).


Sobre la membrana del globo actúan dos fuerzas. Una es restauradora, debida a la tensión superficial \( F_{\tau} \) y la otra es expansiva, debida a la diferencia de presiones entre interior y exterior \( F_p \). Si se considera el equilibrio entre estas dos fuerzas sobre el ecuador del globo (fig. 1), la fuerza debida a la tensión superficial (que tiende a mantener los hemisferios juntos) es el producto de la tensión superficial \( \tau \) por la longitud del ecuador del globo:

\[ F_{\tau} = \tau 2 \pi R \]
(4)

Mientras que la fuerza debida a la diferencia de presiones (que tiende a separar los hemisferios) es igual a la integral de la diferencia de presión sobre uno de los hemisferios,

\[ F_p =  \iint_S {\Delta p \hat n dA} = \Delta p \pi R^2 \]
(5)

Del equilibrio de estas dos fuerzas se puede determinar la tensión superficial,

\[ \tau = \frac{1}{2} \Delta p R \]
(6)

De las ecs. 3 y 6, se puede observar que cuando la presión es inversamente proporcional al radio, la tensión superficial resulta ser constante,

\[ \tau = \frac{cte.}{2} \mbox{   (válido para } R \approx 2 R_0 \mbox{)} \]
(7)

En la segunda gráfica (fig. 8), se han utilizado los datos experimentales y la ec. 6 para mostrar la tensión superficial en función del radio relativo.  Se distigue el comportamiento no lineal de la goma, es decir un material que no cumple con la ley de Hooke. Inicialmente la tensión superficial aumenta con el radio, después presenta una meseta, manteniéndose casi constante para estiramientos medios del orden del doble de la longitud natural (como se mostró en la ec. 7) y finalmente para estiramientos grandes la tensión vuelve a aumentar con el radio.

Fig.2 - Código QR en la pantalla del navegador de la computadora cuando se ingresa al sitio web.airmore.com

Fig. 3 - Conexión establecida entre el smartphone y la computadora

Fig. 4 - App Physics Toolbox en el modo barómetro

Fig. 5 - Todo pronto para medir

Fig. 6 - Midiendo presiones para diferentes radio

Fig. 7 - Sobrepresión en función del radio relativo. Para radios relativos en el entorno de \( 2 R_0 \) la sobrepresión es inversamente proporcional al radio.

Fig. 8 - Tensión superficial en función del radio relativo. Para radios en el entorno de \( 2 R_0 \) la tensión superficial presenta una meseta (ver ec. 7).




Referencias:

D. R. Merritt and F. Weinhaus (1978).
"The pressure curve for a rubber balloon"
American Journal of Physics 46, 976.

G. D. Hoyt (1975).
"Experiment on surface tension and pressure of a balloon"
The Physics Teacher 13, 355.

I. Müller, H. Struchtrup (2002).
"Inflating a Rubber Balloon"
Article in Mathematics and Mechanics of Solids 7, 569–577.

L.J.F. Hermans (2010).
"Physics in daily life: Bubbles and balloons"
Europhysics News 41(1). 31-33.


Más sobre física con smartphones en: http://smarterphysics.blogspot.com.uy/ 

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