Telemetría y física del Falcon Heavy

Telemetría y física del Falcon Heavy.
Un ejercicio de ingeniería inversa.

En esta nota comparto los datos de altitud y velocidad de los primeros 8 minutos del vuelo de prueba del Falcon Heavy, pero sobre todo explico para los más entusiastas cómo a partir de esos únicos datos se pueden determinar algunos otros parámetros del vuelo del cohete. Un ejercicio que también puede ser de interés para alguna clase de física.

1) Características del Falcon Heavy
2) Telemetría directa
3) Telemetría indirecta
4) Dinámica
5) Energía
6) Algunas imágenes que nos dejó el Falcon Heavy
7) Código Scilab





Si te gusta esta nota puedes invitarme una taza de café pulsando el botón de abajo.
Buy Me a Coffee at ko-fi.com
Muchas gracias!


El despegue exitoso del cohete Falcon Heavy, de la empresa de Elon Musk, SpaceX, el pasado 6 de febrero de 2018, ha sido el más potente de los últimos cuarenta años y lo ha convertido oficialmente en el cohete activo más poderoso del mundo. Hay que remontarse casi medio siglo atrás para encontrar una máquina de mayor potencia, en el elegante y magnífico Saturno V del programa Apolo de la NASA. No es casualidad que el despegue del Falcon Heavy se haya realizado desde la misma plataforma LC-39A, del Centro Espacial Kennedy, la misma que antes fuera utilizada por el Saturno V para enviar a los primeros humanos a la Luna. Para apreciar en toda su magnitud el impactante despegue del Falcon Heavy, recomiendo este video con sonido 3D, de SmartEreveryDay (preferiblemente para ser escuchado con auriculares):


Pero no es tanto (o no solo) su potencia lo que hace del Falcon Heavy una maravilla de la ingeniería. Tal vez lo más importante sea el éxito de su tecnología reutilizable. La capacidad de estos cohetes de regresar a salvo es simplemente espectacular, mucho más que el propio despegue. Es maravillosa la imagen de los dos propulsores laterales (boosters), de casi 50 metros de largo y más de 25 toneladas cada uno, regresando en caída libre, cual meteoritos a velocidades supersónicas, para finalmente encender sus motores apenas unos segundos antes de estrellarse y terminar aterrizando con toda suavidad, en una danza sincronizada que desafía todo equilibro inestable. Una verdadera proeza de la ingeniería de control. Vean este video, si no les parece asombroso:




Características del Falcon Heavy

La unidad impulsora del Falcon Heavy es el motor de cohete Merlin 1D, capaz de producir un empuje de 845 kN (kilo newtons). Esta es aproximadamente la fuerza desarrollada por las cuatro turbinas juntas de un avión Boeing 747-300. Pero la primera etapa de un cohete Falcon 9 no cuenta con uno sino con nueve propulsores Merlin (de ahí su nombre). Mientras que el Falcon Heavy, por su parte, está integrado por tres Falcon 9 (de ahí su nombre), formados por el núcleo central y los dos boosters laterales. Este cohete tiene entonces un total de 27 toberas Merlin, que consiguen un empuje de 22,8 MN (mega newtons) a nivel del mar. Es decir que el empuje inicial del Falcon Heavy es equivalente al de 27 aviones 747 (imaginen esas 108 turbinas encendidas al mismo tiempo).

Los 27 motores Merlin se mantienen encendidos durante 154 segundos, esto ocurre desde el despegue  hasta que se separan los boosters. Los 9 motores del núcleo central se mantienen encendidos por 33 segundos más (un total de 187 segundos desde el despegue). Al final de este tiempo el núcleo central también se separa y es cuando se inicia la segunda etapa que consiste en la carga útil impulsada por un solo motor Merlin.

La características básicas del Falcon Heavy se pueden encontrar en el sitio oficial:

Primera etapa:
Masa total: 1420 toneladas (núcleo central: 549 ton.  Boosters vacíos 25,6 ton. Combustible 395,7 ton)
Altura: 70 m
Diámetro de cada sección: 3,7 m
Propulsión: 27 Merlin 1D
Empuje máximo: 22,8 MN
Tiempo de combustión: 154 s (boosters) 187 s (principal)

Segunda etapa:
Masa: (vacío 3,9 tons. Combustible 92,7 tons)
Propulsor: 1 Merlin 1D Vacuum
Empuje máximo: 934 kN
Tiempo de combustión: 397 s



TELEMETRÍA

Bien, pero pasemos a la telemetría, es decir a las magnitudes del vuelo, algunas directas como altitud y velocidad que fueron ofrecidas durante la transmisión del vuelo y otras indirectas que vamos a explicar cómo obtener. Gracias al usuario de Reddit Shahar603, disponemos de una tabla con las medidas de altitud y velocidad del cohete, extraídas (con mucha paciencia por ese usuario) de cada cuadro del video de la transmisión en vivo (información disponible en la esquina superior derecha del video). Además, en la base de la imagen de la transmisión se puede apreciar una línea temporal que señala las etapas claves del vuelo:



Telemetría directa:

La información directa que tenemos entonces se puede representar como una tabla de 3 columnas: La primera columna es el tiempo en segundos ( \( t \) ), la segunda es la velocidad en kilómetros por hora ( \( \ v \), que es el módulo del vector velocidad) y la tercera es la altitud en kilómetros ( \( y \) ). Esta tabla tiene 15814 filas, correspondientes a la cantidad de cuadros que tienen los poco más de 500 segundos de filmación (a razón de 30 cuadros cada segundo).

La telemetría directa está desplegada en las dos primeras gráficas: altitud en función del tiempo (figura 1) y velocidad en función del tiempo (figura 2). Con estos datos es igualmente simple representar cómo cambia la velocidad en función de la altitud (figura 3).

Una primera observación es que a los 200 segundos el cohete alcanzó los 100 km de altitud, es decir el límite (estándar) de la atmósfera. En ese momento el cohete se estaba moviendo a velocidad hipersónica cercana a los 10000 km/h. Esto es casi 10 veces la velocidad del sonido a esa altitud, o dicho de otro modo, casi Mach 10.

También se puede apreciar que tras 500 segundos desde el despegue, el cohete había superado los 170 km de altitud, a la nada despreciable velocidad de 25000 km/h.

En las figuras 2 y 3 se pueden reconocer tres momentos importantes (como pequeños piquitos en las gráficas). El primero en \( t_A =148 s \), es cuando se apagaron y separaron los propulsores laterales (boosters). Luego en \( t_B =181 s \), es cuando se apagó el propulsor principal. Recordemos que la pendiente de una gráfica v(t), corresponde a la aceleración, de modo que los piquitos mencionados se corresponden con cambios importantes de aceleración, causados en este caso por el cese momentáneo de la propulsión al apagarse los boosters en el primer caso y el propulsor principal en el segundo. Finalmente en \( t_C =191 s \), fue cuando se separó el propulsor principal y se encendió la segunda etapa. Nótese la meseta de velocidad casi constante entre \( t_B \) y \( t_C \), mientras los motores del núcleo central estaban apagados y cómo a partir de ahí la velocidad comenzó a aumentar nuevamente.

Ahora es cuando comienza lo interesante, porque estas dos magnitudes, altitud y velocidad permiten determinar muchas otras magnitudes relacionadas con el vuelo del Falcon Heavy. Veamos.


Figura 1. Altitud en función del tiempo (telemetría directa).


Figura 2. Velocidad en función del tiempo (telemetría directa).


Figura 3. Velocidad en función de la altitud (telemetría directa).




Telemetría indirecta:

Con un poco de cálculo básico es posible determinar varias magnitudes físicas asociadas con el vuelo del cohete. Por ejemplo, la velocidad vertical, \( v_y \), es la derivada de la altitud con respecto al tiempo:

\[ v_y = \frac{d y}{d t} \]

Como lo que tenemos no es una función sino una tabla ese cálculo se debe realizar como una derivada discreta. En forma muy simplificada sería algo así:

\[ v_{y i} = \frac{v_{y i+1} - v_{y i} }{t_{i+1} - t_{i} } \]

Pero hay métodos mejores. En este caso, como hay muchas medidas, calculé la derivada discreta tomando varios puntos de cada entorno. Los detalles se pueden apreciar en el programa en Scilab que está al final.

Una vez que tenemos la velocidad vertical, podemos determinar la velocidad horizontal,  \( v_x \), (pues ya teníamos el módulo de la velocidad en la telemetría directa),

\[ v_x = \sqrt{ v^2 - v_y^2} \]

Las dos componentes de la velocidad, junto con el módulo, se muestran en la figura 4.


Figura 4. Módulo de la velocidad (negro), velocidad vertical (azul), velocidad horizontal (rojo).


Ahora que tenemos la velocidad horizontal, podemos integrarla con respecto al tiempo para obtener el desplazamiento horizontal, es decir la distancia horizontal de cohete, \( x \), con respecto a la base de lanzamiento \( x_0 = 0 \),

 \[ x = x_0 +  \int_0^t v_x dt \]

Nuevamente esta integral se debe realizar en forma discreta. En este caso una simple integración trapezoidal es más que suficiente (ver detalles en el programa, más abajo). La posición horizontal se muestra en la figura 5. Observar que al cabo de 500 segundos (cuando estaba a más de 170 km de altitud), ya se encontraba sobre un punto de la Tierra alejado casi 1500 km de la base de despegue. Esto evidentemente está relacionado con el hecho de que la velocidad horizontal termina siendo muy superior a la velocidad vertical (lo cual se aprecia muy bien en la figura 4). Aquí una aclaración importante. En realidad lo correcto sería trabajar en coordenadas polares con origen en el centro de la Tierra, siendo la velocidad vertical en realidad un velocidad radial y la velocidad horizontal una velocidad tangencial. Sin embargo no estamos considerando todo el vuelo orbital sino solamente los primeros 500 segundos, cuando el alejamiento es del orden de la quinta parte del radio de la Tierra.

En la figura 6 se muestra algo muy parecido a la trayectoria seguida por el cohete, se trata de la gráfica de altitud (que ya teníamos de la telemetría directa) en función de la recién calculada distancia horizontal.


Figura 5. Distancia horizontal desde la base de lanzamiento.



Figura 6. Trayectoria: Altitud en función de la posición horizontal. Esta curva nos da una idea muy aproximada de la trayectoria seguida por el cohete, con el único detalle de que el eje horizontal que representa a la superficie de la Tierra debería curvarse levemente unos 12 grados. 



La actitud del cohete se puede caracterizar con el ángulo de inclinación  \( \theta \) con respecto a la horizontal (horizontal = dirección tangente a la superficie de la Tierra). Este ángulo es muy fácil de calcular a partir de las componentes de la velocidad que ya tenemos determinadas. Una forma es mediante al arcoseno del cociente entre la velocidad vertical y el módulo de la velocidad,

 \[  \theta = acrsen \left( \frac{v_y}{v} \right) \]

En la figura 7 se aprecia la inclinación del cohete y cómo el cohete pasa de estar prácticamente vertical en los primeros 30 segundos, a estar prácticamente paralelo a la superficie terrestre después de salir de la atmósfera (más allá de los 200 segundos, cuando ya se encuentra en la segunda etapa).

Figura 7. Inclinación del cohete con respecto a la horizontal.




Derivando el módulo de la velocidad con respecto al tiempo se obtiene la componente tangencial de la aceleración (es decir la aceleración en la dirección del movimiento del cohete). Eso es lo que se muestra en la figura 8.
\[ a = \frac{d v}{d t} \]

Se observa que las aceleraciones no son extraordinarias. En el momento del despegue es del orden de 0,5 g, y luego alcanza valores máximos del orden de 3 g. Se aprecia cómo la aceleración se reduce drásticamente cuando los propulsores laterales se apagan (en \( t_A = 148 s \) ) y lo mismo cuando se apaga el cohete principal (en \( t_B = 181 s \) ).


Figura 8. Aceleración del cohete (componente en dirección del movimiento).




DINÁMICA

Este es el punto donde entran en juego las fuerzas. Y sobre el cohete en vuelo actúan tres: el peso, el empuje de los motores y la resistencia del aire. Ese último factor aerodinámico depende de la velocidad del cohete, de su forma y tamaño y de la densidad del aire. Desconocemos la densidad exacta que tenía el aire en cada punto de la atmósfera por los que pasó el cohete ese día. Lo que hacemos entonces es utilizar algún modelo, como el de Atmósfera Estándar Internacional y determinar así la densidad del aire en función de la altitud. Es lo que se muestra en la figura 9. Se aprecia claramente que antes de los 50 kilómetros, la atmósfera se vuelve realmente muy tenue.


Figura 9. Densidad del aire en función de la altitud según modelo de Atmósfera Estándar Internacional.




La fuerza que opone el aire al avance del cohete, \( F_D \), se puede determinar con cierta aproximación (un tanto gruesa), como la fuerza de arrastre realizada por un fluido para números de Reynolds relativamente altos,

 \[  F_D = \frac{1}{2} C_D \rho A v^2 \]

donde \( C_D \) es el coeficiente de arrastre, \( \rho \) es la densidad del aire, \( A \) es el área de la sección aparente del cohete (en este caso, como son tres cilindros, sería el área de tres círculos de 3,7 metros de diámetro. Eso hasta antes de que se separan los boosters. Después obviamente es menor.). Y \( v \) es la velocidad del cohete.

Por un lado esta fuerza aerodinámica aumenta con el cuadrado de la velocidad, lo que hace que la fuerza vaya aumentando en los primeros segundos de vuelo. Pero por otra parte esta fuerza es proporcional a la densidad del aire, de modo que a medida que el cohete gana altura y la densidad del aire se reduce, la fuerza deja de aumentar y se hace muy pequeña para grandes altitudes.

La figura 10 nos muestra que la fuerza de arrastre se hizo máxima un minuto después del despegue. Esto fue cuando el cohete estaba un poco por encima de los 10 km (como se aprecia en al figura 11), que es la altura a la que vuelan los aviones comerciales. Vale señalar que la fuerza máxima que opone el aire (0,6 MN), es mucho menor que la fuerza de propulsión máxima ejercida por los motores (22,8 MN). Es decir que la fuerza más importante que deben vencer los motores no es la que opone el aire sino el peso, es decir la fuerza gravitatoria, y esta depende de la masa total del cohete (la cual disminuye a medida que se agota el combustible).


Figura 10. Fuerza de arrastre o fuerza de resistencia que opone el aire al avance del cohete, en función del tiempo.



Figura 11. Fuerza de arrastre o fuerza de resistencia que opone el aire al avance del cohete, en función de la altitud.



En el momento del despegue casi toda la masa del cohete (1420 toneladas) era combustible. Este es un problema tradicional de los cohetes, que la fuente de energía es al mismo tiempo su mayor lastre. Por suerte (y a diferencia de una batería) la masa de combustible se reduce a medida que entrega su energía. No tengo información de cómo fue la tasa de consumo de combustible en cada instante del vuelo del Falcon Heavy, por lo que voy a suponer una aproximación de primer orden que consiste en suponer un consumo uniforme de combustible. Conociendo la masa de cada sección, la masa total de combustible y el tiempo que demora en agotarse (ver tabla de arriba), se puede determinar la masa total del cohete en cada momento (ver figuras 12 y 13).

\( m_b = 25.600 kg \) (Masa de cada booster vacío)
\( m_{bc} = 395.700 kg \) (Masa de combustible de cada booster)
\( m_m = 31.000 kg \) (Masa del cohete central)
\( m_{mc} = 452.400 kg \) (Masa de combustible del cohete central)
\( m_s = 3.900 kg \) (Masa de la segunda etapa vacía)
\( m_{sc} = 92.700 kg \) (Masa de combustible de la segunda etapa)

Masa del cohete mientras se agotan los tres tanques (entre \( t=0 s \) y \( t_A = 148 s \) ):

\[ m_i = 2 m_b + 2  m_{bc} \left( 1 - \frac{t_i}{t_A} \right) + m_m + m_{mc} \left( 1 - \frac{t_i}{t_B} \right) + m_s + m_{sc} \]

Masa del cohete cuando ya no están los boosters laterales y hasta que se agota el combustible del núcleo central (entre \( t_A = 148 s \) y \( t_B = 181 s \) ):

\[ m_i = m_m + m_{mc} \left( 1 - \frac{t_i}{t_B} \right) + m_s + m_{sc} \]

Masa del cohete con el núcleo central apagado (entre \( t_B = 181 s \) y \( t_C = 191 s \) ):

\[ m_i = m_m + m_s + m_{sc} \]

Masa del cohete durante la segunda etapa, cuando el núcleo central ya se ha separado (para tiempos posteriores a \( t_C = 191 s \) ):

\[ m_i = m_s + m_{sc} \frac{t_D - t_i}{t_D - t_C} \]


Figura 12. Masa del cohete en función del tiempo.


Figura 13. Masa del cohete en función de la altitud.




De acuerdo con la segunda ley de Newton, se cumple que,
\[ \vec F_{prop} + \vec P + \vec F_{D} = m \vec a \]

Donde \( vec F_{prop} \) es la fuerza de propulsión, \( vec P \) es el peso y \( F_D \) es la fuerza de arrastre ejercida por el aire. Proyectando estos vectores en la dirección de movimiento del cohete, se puede determinar la fuerza de propulsión realizada (ver figura 14):
\[ F_{prop} = m a + G \frac{M m}{\left( R + y \right)^2} sen \left( \theta \right) + F{D} \]

donde \( m \) es la masa del cohete, \( G \) es la constante de gravitación universal, \( M \) es la masa de la Tierra, \( R \) es el radio de la Tierra, \( "y" \) es la altitud del cohete y \( \theta \) es el ángulo de inclinación del cohete con respecto a la horizontal. Ver figura 15.

Figura 14. Diagrama de fuerza sobre el cohete. Fuerza de propulsión, Fuerza de arrastre y Peso.



Figura 15. Fuerza realizada por los motores Merlin 1D (27 motores hasta t=148 s, 9 motores hasta t=181 s, 1 motor desde t=191 s).



ENERGÍA

Finalmente podemos determinar la energía asociada con el vuelo del cohete (figura 16).

Energía cinética de la carga útil, \( K \),
\[ K = \frac{1}{2} m_s v^2 \]

Energía potencial gravitatoria de la carga útil con respecto al punto de despegue, \( U \),
\[ U = G M m_s \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{R + y} \right) \]

El trabajo realizado por la fuerza de frenado aerodinámico, \( W_D \), se puede determinar integrando (en forma discreta) la potencia (que es el producto de la fuerza por la velocidad),
\[ W_D = \int_0^t \left( - F_D · v \right) dt  \]

De modo similar se puede obtener el trabajo realizado por la fuerza de propulsión \( W_{prop} \),
\[ W_{prop} = \int_0^t \left( - F_{prop} · v \right) dt  \]

En la figura 16 se puede apreciar la gran cantidad de energía entregada por el combustible (línea roja), superior a los 2500 millones de joules (y en solo 8 minutos. Para tener una idea, esa es la energía que consumen 15000 personas). Como se observa en la gráfica, es una energía mucho mayor que las energías cinética y potencial que adquiere la carga útil (líneas negra y azul). Es decir que la inmensa mayoría de la energía del combustible se ha utilizado para mover y elevar a todo el resto del cohete, en especial al propio combustible que lo impulsa.

Figura 16. Energías asociadas al cohete y a la carga útil.


CÓDIGO SCILAB
En este enlace se puede acceder al programa en Scilab con el que se han hecho los cálculos y las gráficas anteriores: ver código.



ALGUNAS IMÁGENES QUE NOS DEJÓ EL FALCON HEAVY
El despegue de la máquina más potente de las últimas cuatro décadas.
El regreso controlado de los boosters.
Starman en su Tesla en órbita alrededor de la Tierra.
"Made on earth by humans"










Nota relacionada:
"Impulso del cohete Tero IV"


Si te ha gustado esta nota puedes agradecerme de diferentes formas, por ejemplo dejando un comentario al final de esta página, o compartiendo esta nota en tus redes o si eres más generoso con una modesta donación equivalente a una simple y cálida taza de café (en el botón de abajo). ¡Muchas gracias por leerme!

DONACIÓN
Buy Me a Coffee at ko-fi.com
Gracias por el apoyo


Comentarios