Ondas de presión en el Euskotren

Ocasionalmente los viajes ofrecen interesantes momentos para hacer un poco de ciencia en la vida cotidiana. Esta fue una de esas oportunidades. Era sábado a mitad del verano europeo, el congreso GIREP en Donostia había terminado el día anterior y no encontramos mejor programa que aprovechar el día para viajar en tren a conocer la ciudad de Bilbao. En cierto momento, durante el viaje a bordo del Euskotren recorriendo los hermosos paisajes que ofrece el País Vasco, siento que los oídos se me tapan levemente cuando cruzamos el primero de muchos túneles que ese viaje tendría. En ese instante recuerdo un artículo de Jochen Kuhn y colaboradores en la revista The Physics Teacher*, en el que exploraban las ondas de presión que se producen cuando un tren atraviesa un túnel. Entonces dispuesto a explorar este fenómeno en directo recurro, como tantas otras veces, a este notable laboratorio de bolsillo: el smartphone.
Aquí la historia:





Cuando el tren estaba por llegar a un túnel, previo a la estación de Elgoibar, enciendo la App Physics Toolbox y registro los cambios de presión que ocurren dentro del túnel. Estas medidas son posibles gracias al detalle nada menor de que el Samsung S7 cuenta con sensor de presión (barómetro). En la siguiente captura de pantalla del smartphone se puede apreciar el gráfico obtenido de la presión en función del tiempo. Se puede distinguir el momento cuando el tren ingresa al túnel, así como el momento en que sale del mismo. Entre esos dos momentos se aprecian claramente las oscilaciones de presión que ocurren en el interior del túnel. Con un mínimo de trabajo y un poco de cuidado es fácil obtener el tiempo entre los pulsos de presión. En este caso el tiempo medio entre pulsos resulta ser de 2,3 segundos (con 1% de incertidumbre). El inverso del tiempo entre pulsos corresponde a la frecuencia de las ondas sonoras, es decir 0,43 Hz.



Al finalizar el túnel registro con Google Maps la posición por GPS en la que nos encontramos y con la App Speedometer (que también utiliza el GPS), registro la velocidad del tren: 51,3 km/h, es decir 14,3 m/s. Sin embargo puede observarse que la velocidad máxima antes de ingresar al túnel, el tren alcanzó los 84,9 km/h (23,6 m/s). Evidentemente dentro del túnel, el tren viajó con alguna velocidad comprendida entre esas dos, es decir que la velocidad del tren dentro del túnel debe estar en el intervalo \( \left(19 \pm 5 \right) m/s  \). Ver las siguientes capturas de pantalla con la ubicación y la velocidad, ambas obtenidas por GPS.


La velocidad del tren al llegar a la estación era de 51,3 km/h (14,3 m/s). En uno de los datos inferiores (max speed), puede observarse que la velocidad máxima antes de ingresar al túnel, alcanzó los 84,9 km/h (23,6 m/s). Eso significa que dentro del túnel, el tren viajó a una velocidad comprendida entre esas dos.


Veamos cómo se explican las oscilaciones observadas de presión.

En el momento en que el tren ingresa al túnel (mucho más angosto que un túnel carretero), se produce un repentino cambio de presión en el aire. Ese cambio de presión da lugar a una onda de muy baja frecuencia dentro del túnel. Esas ondas de presión no son otra cosa que ondas sonoras. Es el mismo principio físico por el cual suenan los instrumentos musicales de viento, como la flauta o el clarinete. Sin embargo, las ondas que se producen dentro del túnel no son audibles debido a que su frecuencia (0,43 Hz en el caso que estamos analizando) está muy por debajo de la sensibilidad del oído humano, que es del orden de 20 Hz. Estas ondas de muy baja frecuencia se denominan infrasonidos.

La frecuencia fundamental, f, de las ondas que se producen dentro de un tubo (sea el túnel del tren o una flauta), depende de la velocidad del sonido, c, y de la longitud del túnel, L:

\( f = \frac{c}{2 L} \)                    (1)

Una forma muy simple de entender esta última ecuación es observando que en el instante en que el tren ingresa al túnel, el pulso que se genera por el cambio de presión viaja a la velocidad del sonido hasta el extremo opuesto del túnel (el extremo de salida) y allí se refleja para volver a encontrarse nuevamente con el tren. Durante el tiempo \( t \) que demora el pulso en reencontrarse con el tren, ha recorrido una distancia \( c t \). Mientras tanto el tren también se movió, y en ese tiempo avanzó una distancia \( v t \). Esas dos distancias deben sumar exactamente el doble de la longitud del túnel:

\( c t + v t = 2 L \)                      (2)

Entonces el tiempo entre pulsos, el período, es:

\( t = \frac{2 L}{c + v} \)                            (3)

La frecuencia es el inverso de ese tiempo, es decir:

\( f = \frac{c + v}{2 L} \)                            (4)

Si el tren está en reposo (o se mueve muy despacio), la ecuación 4 coincide con la ecuación 1, que es la bien conocida ecuación de resonancia para un tubo acústico.

La velocidad del sonido en el area, según la temperatura de ese día, se puede estimar en 345 m/s (con incertidumbre del 1%).

En resumen tenemos las siguientes medidas:
\( t = \left( 2,30 \pm 0,02 \right) s\)
\( v = \left( 19 \pm 5 \right) m/s\)
\( c = \left( 345 \pm 3 \right) m/s\)

De donde podemos obtener la longitud del túnel según la ecuación 3:

\( L = \frac{t \left(c + v \right)}{2} \)

Es decir, \( L = (418 \pm 9) m \).

De este modo hemos podido determinar le longitud del túnel a partir de las ondas sonoras que se producen en su interior, cual gigantesco instrumento musical infrasónico.

Una forma de contrastar este resultado sería contar con la información de obra del túnel  o en su lugar recurrir a las herramientas de Google Maps para estimar la longitud del túnel (ver las 4 imágenes a continuación del párrafo). Al observar los lugares de entrada y de salida del túnel es evidente que se trata de un túnel en curva, por lo que al utilizar la herramienta de medida se debe estimar en forma aproximada la forma del túnel (lo cual introduce una gran incertidumbre en la medida del túnel). La medida obtenida de este modo con Google Maps es de 417 m (lo cual es apenas una aproximación porque desconocemos la forma exacta del túnel).

Esa distancia está en excelente concordancia con la longitud del túnel determinada antes a partir de las ondas de presión. Obsérvese que la discrepancia entre ambos métodos es de tan solo 1 metro, mientras la incertidumbre era de 9 metros.


Ruta del tren vista en Google Maps, con el túnel marcado manualmente en forma aproximada gracias a la herramienta de medida, la cual entrega una distancia levemente superior a 417 m.

Ruta del tren vista en Google Maps, incluyendo la estación de Elgoibar (abajo) y el túnel previo, marcado en forma aproximada con la herramienta de medida.

En el centro de la imagen (Google Maps), se observa el extremo de salida del túnel.

Extremo de salida del túnel del tren, antes de la estación de Elgoibar (imagen de Google Maps). El túnel se comporta como un gigantesco instrumento musical que produce ondas infrasónicas.



*Referencia:
Müller, A., Hirth, M., and Kuhn, J. (2016).
The Physics Teacher 54(2), 118.





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Comentarios

  1. Muy interesante trabajo. Únicamente especificar que la longitud del túnel de Carquizano objeto de este estudio, situado en el punto kilométrico 56/064 de la línea Bilbao Donostia de EuskoTren tiene una longitud de 393 metros.

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