Solución al Physics Challenge TPT Febrero 2019

Solución al Desafío de Febrero 2019 de The Physics Teacher: "Rendimiento bajo presión"

El diagrama muestra un ciclo experimentado por una porción de gas helio. Determine la eficiencia de ese ciclo.




"Performance under pressure"
Boris Korsunsky
The Physics Teacher 57, 117 (2019)
https://doi.org/10.1119/1.5088477




SOLUCIÓN

Primero vamos a definir los 4 estados siguientes: sea el estado A el que está a presión \( p_0 \) y volumen \( V_0 \). El estado B el que está a presión \( 4 p_0 \) y volumen \( V_0 \). El estado C el que está a presión \( 4 p_0 \) y volumen \( 6 V_0 \). El estado D el que está a presión \( p_0 \) y volumen \( 6 V_0 \).

El helio a presiones normales se comporta como un gas ideal con un grado de libertad, de modo que el calor específico molar a volumen constante es \( c_v = \frac{3}{2} R \),y a presión constante es, \( c_p = \frac{5}{2} R \).

Durante el proceso AB, como es isocórico, el trabajo es nulo y por lo tanto el cambio de energía interna es igual al calor. Como la presión aumenta a volumen constante, entonces (de acuerdo  con \( p V = n R T \)), aumenta la temperatura y por lo tanto aumenta la energía interna y eso significa que el calor es positivo, es decir que ingresa calor al sistema,

\( Q_{AB} = c_v n \left( T_B - T_A \right) = \frac{3}{2} V_0 \left( 4 p_0 - p_0 \right) = \frac{9}{2} V_0 p_0 \)

Por su parte en el proceso BC también ingresa calor, (ya que es positivo),

\( Q_{BC} = c_p n \left( T_C - T_B \right) = \frac{5}{2} 4 p_0 \left( 6 V_0 - V_0 \right) = 50 p_0 V_0 \)

De modo similar se determina que en los procesos CD y DA el calor es negativo y por lo tanto egresa del sistema.

Entonces el calor total que ingresa al sistema en el ciclo es,

\( Q = Q_{AB} + Q_{BC} = \frac{109}{2} p_0 V_0 \)

Por su parte el trabajo absoluto realizado por el sistema durante el ciclo es igual al área del rectángulo en el diagrama PV,

\( \lvert W \rvert = \left( 4 p_0 - p_0 \right) \left( 6 V_0 - V_0 \right) = 15 p_0 V_0 \)

La eficiencia es entonces,

\( \eta =  \lvert \frac{W}{Q_c}  \rvert  = \frac{15 p_0 V_0}{\frac{109}{2} p_0 V_0} \)


\( \eta = \frac{30}{109} \)




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