Solución al Physics Challenge TPT Enero 2020

Solución al Desafío de Enero 2020 de The Physics Teacher: "January jiggle" (Bamboleo de enero)

Dos bloques, de masas M y 2M, se colocan sobre una superficie horizontal lisa. Los bloques están unidos por un resorte liviano de constante elástica k.
Inicialmente, los bloques están en reposo. En cierto momento, al bloque M se le aplica un impulso breve en sentido opuesto al bloque 2M, con lo que adquiere una velocidad inicial v.

Encuentre el desplazamiento del bloque M en el instante en que su velocidad vuelve a ser nuevamente igual a v.


"January jiggle"
Boris Korsunsky
The Physics Teacher 58, 70 (2020)
https://doi.org/10.1119/1.5141982




SOLUCIÓN

Consideremos un sistema de coordenadas con origen en el bloque de masa \(M\). En el instante \(t=0\), el bloque de masa \(M\) está en la posición \(x_1=0\), con velocidad \(v_1=v\), mientras que el bloque de masa \(2M\) está en \(x_2=L\), con velocidad \(v_2=0\).

La cantidad de movimiento del sistema se conserva porque no hay fuerzas externas horizontales, entonces se cumple que,

\(3 M v_{CM} = M v\)

de donde la velocidad del centro de masa del sistema será constante e igual a,

\(v_{CM} = \frac{v}{3}\)

Por otra parte, en el instante inicial, el centro de masa del sistema se encuentra ubicado en,

\(x_{CMo} = \frac{M·0 + 2M·L}{3M}\)

\(x_{CMo} = \frac{2}{3} L\)

Con respecto al centro de masa, El resorte se puede considerar como la unión de dos resortes en serie, el primero de longitud natural, \(L_1 = \frac{2}{3} L\), y el segundo \(L_2 = \frac{1}{3} L\), que cumple que,

\(\frac{1}{k} = \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2}\) y \(k_1 L_1 = k_2 L_2 = k L\) , de donde resulta que, \(k_1 = \frac{3}{2} k\)

Entonces el bloque de masa \(M\) oscila con respecto al centro de masa con frecuencia angular,

\(\omega_1 = \sqrt{\frac{k_1}{M}}\), es decir, \(\omega_1 = \sqrt{\frac{3 k}{2 M}}\)

de modo que el período de oscilación es \(T_1 = \frac{2 \pi}{\omega_1}\), o sea, \(T_1 = 2 \pi \sqrt{\frac{2 M}{3 k}}\).

Después de un tiempo \(T_1\) el bloque va a tener la misma velocidad con respecto al centro de masa que en \(t=0\), y va a estar a la misma distancia del centro de masa que en \(t=0\), por lo tanto la velocidad en \(T_1\) será igual a la velocidad inicial y el desplazamiento será igual al desplazamiento del centro de masa,

\(d = v_{CM} T_1\)


Finalmente:

\(d = \frac{2}{3} \pi v \sqrt{\frac{2 M}{3 k}}\)






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