Vuelo geodésico (Física "al vuelo" IV)

En la madrugada del sábado me sorprendió el rugido de un avión recién despegado. Un Airbus 340, gigante, que con sus 4 turbinas a máxima potencia pasó apenas a 500 metros de distancia con dirección al sur. En un instante ya estaba volando sobre el Río de la Plata, en una ruta bastante inusual. Se trataba del vuelo especial HFM751, operado por Hi Fly Malta, dirigiéndose a Melbourne con un centenar de ciudadanos australianos y neozelandeses que habían quedado aislados en el crucero Greg Mortimer. Un capítulo más de los incontables efectos colaterales de la pandemia de coronavirus.

El avión iba hacia el sur, hacia Melbourne. Alguien conocedor del mundo en el que vive podría cuestionar esto último. ¿Pero cómo? ¿Hacía Melbourne volando con dirección al sur? ¿Por qué? Si Melbourne está al oeste de Montevideo. ¿No debería volar hacia el oeste para recorrer la mínima distancia? Veamos por qué no.

Vuelo HFM751 operado por Hi Fly Malta, con rumbo a Melbourne, a minutos de haber despegado en Montevideo, desde el Aeropuerto Internacional de Carrasco, el día 11 de abril de 2020.

Efectivamente, Melbourne está casi a la misma latitud de Montevideo (apenas 3 grados más al sur) y es por eso que los mapas parecen invitarnos a pensar que la distancia más corta para viajar de Montevideo a Melbourne se obtiene trazando una línea recta sobre ese mapa. Si fuera así, entonces efectivamente usted debería viajar hacia el oeste para recorrer la menor distancia posible. Y para los aviones es crucial volar en la dirección de menor distancia para ahorrar tiempo y combustible.



Sin embargo el vuelo 751 no solo despegó hacia el sur sino que continuó volando con rumbo sur-suroeste, como si viajara a la Patagonia o Tierra del Fuego, como se puede apreciar a través del registro histórico de vuelos de  Flightradar24.





Por supuesto que el vuelo 751 no perdió su tiempo ni voló con ese rumbo para derrochar combustible. La ruta que recorrió, por extraño que parezca, fue una ruta muy cercana a la de mínima distancia entre Montevideo y Melbourne. La explicación de esto radica en la geometría. En el caso de la superficie de una esfera, la distancia mínima entre dos puntos se obtiene siguiendo una curva que está contenida en un círculo máximo. Un círculo máximo es el que se obtiene al cortar la esfera con un plano que pasa por el centro de la esfera. Esa curva que minimiza la distancia entre dos puntos es lo que se conoce como geodésica. Por ese motivo es que en teoría todos los vuelos ideales son geodésicos, para optimizar (o sea, minimizar) la distancia recorrida en el viaje.

Para encontrar la geodésica para este caso particular lo que debemos hacer es intersectar a la Tierra con un plano que pase por tres puntos clave: 1) Montevideo, 2) Melbourne y 3) El centro de la Tierra. Esta geodésica, o curva de mínima distancia, es la que muestro en la siguientes dos imágenes de Google Earth:




La longitud de esta geodésica es de aproximadamente 11500 km, tal como se puede determinar utilizando la herramienta de distancia de Google Maps. También se podría calcular esta distancia com un poco de trigonometría esférica, a partir de las coordenadas geográficas de las dos ciudades.

Nótese el aspecto tan diferente que presenta la geodésica representada en el plano de Google Maps con respecto a la imagen sobre la esfera. Esto es consecuencia de las deformaciones que introduce la proyección de una esfera en el plano.




La ruta que realizó el vuelo 751 fue muy similar a esta geodésica, tal como lo muestra su historia de vuelo.



Se comprueba que la distancia que recorrió el avión fue de aproximadamente 12300 km, que es apenas un poco mayor que la distancia ideal determinada antes. (Se deber tener en cuenta que los aviones suelen salirse de la ruta geodésica en algunos tramos debido a las condiciones atmosféricas u otras restricciones).

La distancia recorrida se puede obtener de los registros de vuelo (por ejemplo en la misma Flightradar24, ya mencionada) o de forma más artesanal con la herramienta de distancia de Google Maps, como aquí:




Finalmente, veamos qué tan largo hubiera sido el vuelo de haber viajado hacia el oeste, tal como sugería el mapa. Pues en este caso el avión hubiera recorrido casi 14000 km, lo que sería un viaje 22% más largo que el ideal.




Este vuelo fue completamente inusual, simplemente porque la ruta Montevideo - Melbourne no existe. Sin embargo existen otras rutas regulares que son similares a esta en cuanto a que para unir destinos lejanos de un mismo hemisferio deben pasar cerca del círculo polar para minimizar la distancia. Son las denominadas rutas polares, las cuales son mucho más comunes en el norte que en el sur por el simple hecho de que hay más densidad de tierra y población cerca del polo norte que cerca del polo sur. Aquí algunos ejemplos.





NOTA TÉCNICA

¿Cuál es la diferencia máxima entre un vuelo geodésico y un vuelo paralelo?
Para el vuelo que acabamos de mencionar, hemos visto que siguiendo una ruta casi geodésica el avión recorrió unos 12300 km, mientras que de haber seguido un vuelo a lo largo de un paralelo hubiera recorrido unos 14000 km. Una diferencia que no es para despreciar. Podemos preguntarnos cuál sería el peor caso, o sea, en qué condiciones se daría la mayor diferencia entre un vuelo geodésico y un vuelo siguiendo el paralelo, así como cuánto vale esa diferencia máxima entre ambas distancias. Vamos a plantear estas preguntas en términos del siguiente problema.

Problema:

Se consideran  dos puntos A y B sobre la superficie de la Tierra (supuesta una esfera perfecta de radio R), y dos rutas g y p, entre ambos puntos. A y B tienen la misma latitud x. La diferencia de longitud entre A y B es de 180º (es decir que A está en el antimeridiano de B). La ruta g es geodésica, es decir, es la ruta de mínima distancia entre A y B. La ruta p es la que recorre el paralelo de los puntos A y B (o sea, una ruta de latitud constante).
Determinar x para que la diferencia entre las distancias recorridas por ambos caminos sea máxima, y calcular esa diferencia.



Solución:

Vamos a definir como \(d_g\) y \(d_p\) a las distancias entre A y B siguiendo las rutas g y p, respectivamente. Definimos como \(z\) a la diferencia de distancias entre ambos caminos, es decir, \(z = d_p - d_g\).

En primer lugar vamos a observar lo que ocurre en dos casos extremos. 1) Si la latitud es 0, entonces A y B se encuentran sobre la línea del ecuador, en las antípodas, es decir en puntos opuestos de la Tierra, por lo que ambos caminos, g y p, tienen la misma longitud y por lo tanto la diferencia entre ambos es nula (z=0). 2) Si la latitud es 90º o -90º, entonces ambos puntos coinciden en uno de los polos y obviamente ambas distancias son nulas, y así también la diferencia (z=0). Estos dos casos extremos nos muestran que (siendo z una función continua de x) debe haber una latitud intermedia \(x_m\) en la cual \(z\) sea máxima.

Como A y B se encuentran en antimeridianos, es claro que la ruta geodésica pasa por el polo. Esto es porque un meridiano y su antimeridiano son dos mitades del mismo círculo máximo. Siendo un arco de círculo máximo, la distancia recorrida desde A hasta B a lo largo de g es la longitud de un arco de circunferencia de radio R y ángulo \(\pi - 2 x \), es decir,

\( d_g = R (\pi - 2 x) \),

donde la latitud \(x\) debe estar expresada en radianes, por supuesto.

El camino p, por su parte, es un arco de circunferencia de ángulo \(\pi\), pero correspondiente a un círculo de radio \(R cos x\), por tratarse de un paralelo. Entonces la distancia de A a B por p, es,

\(d_p = R \cos(x) \pi\).

La diferencia de distancias entre ambos caminos \(z\) es entonces una función de \(x\),

\(z(x) = R \cos(x) \pi - R (\pi - 2 x)\)

Ya observamos al principio que \(z(0)=0\), y que \(z(\pi/2)=0\), entonces el valor máximo de z se alcanza cuando la derivada de z con respecto a x es nula, esto es,

\( \left. \frac{d z}{d x} \right|_{x=x_m} = 0 \),

de donde,

\(-R \sin(x_m) \pi + 2 R = 0 \)

es decir que la latitud para la cual se maximiza \(z\) es,

\(x_m = \arcsin \left( \frac{2}{\pi} \right) = 0,6901 \mbox{ rad} = 39,54º \).

Con esta latitud de \(39,54º\) y considerando a la Tierra como una esfera de radio \(R = 6371 \mbox{ km} \), podemos calcular las distancias cuando se maximiza la diferencia de caminos:

La distancia en la ruta geodésica es: \( d_g (x_m) = R (\pi - 2 x_m) = 11222 \mbox{ km} \).

La distancia en la ruta paralela es: \(d_p (x_m) = R \cos(x_m) \pi = 15435 \mbox{ km}\).

Y la diferencia de caminos es: \( z(x_m) = 4213 \mbox{ km} \), que equivale a una diferencia de 37,5%.

En el gráfico siguiente se muestran las tres distancias en función de la latitud. El máximo de la curva roja corresponde a la solución que acabamos de encontrar.






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