Medidas directas de las coordenadas normales en un sistema de osciladores acoplados

Medidas directas de las coordenadas normales en un sistema de osciladores acoplados

Álvaro Suárez*, Daniel Baccino†, Martín Monteiro‡, Arturo Martí§
* † CFE-ANEP, Montevideo, Uruguay
‡ Universidad ORT Uruguay
§ Instituto de Física, Facultad de Ciencias, UdelaR, Uruguay

∗ alsua@outlook.com
† dbaccisi@gmail.com
‡ monteiro@ort.edu.uy
§ marti@fisica.edu.uy


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Resumen

A partir del análisis experimental del movimiento con condiciones iniciales arbitrarias de un sistema de dos osciladores acoplados obtenemos directamente las coordenadas normales. El sistema consiste en dos planeadores que se mueven sobre un riel de aire unidos entre sí por un resorte y a su vez mediante otros dos resortes a los extremos fijos. A partir de las posiciones del centro de masas y de la distancia relativa adquiridos gracias al el análisis del video digital del experimento se obtienen las coordenadas normales y mediante un ajuste no lineal también se obtienen las frecuencias normales. Se muestra que si bien la masa de los resortes es relativamente más pequeña que la de los planeadores su consideración mejora sensiblemente la concordancia con los resultados del modelo teórico.




1. Introducción

En sistemas mecánicos con varios grados de libertad, en términos generales, no es posible obtener las soluciones completas de las ecuaciones de movimiento. Una notable excepción a esta regla es la dinámica de sistemas conservativos apartados levemente de un punto de equilibrio estable. En este caso, las soluciones generales conocidas como pequeñas oscilaciones están dadas por combinaciones de soluciones periódicas simples o modos normales caracterizados por su frecuencia, conocida como frecuencia normal. El conocimiento de estos modos normales permite describir en términos generales la dinámica del sistema. Notablemente, si se escogen las condiciones iniciales en forma adecuada es posible excitar uno a uno los modos normales y, dejando de lado perturbaciones, el sistema permanecerá oscilando en el mismo modo normal. Esta elección de condiciones iniciales (dejando de lado algunos sistemas con simetrías) no resulta trivial a priori y sólo se puede hacer después de haber resuelto las ecuaciones diferenciales del movimiento. En términos generales, dada una condición inicial arbitraria, el movimiento resultará una combinación lineal de todos los modos normales de oscilación. Existe un método sin embargo para desacoplar las ecuaciones de movimiento y expresarlas en términos de nuevas variables denominadas coordenadas normales que se comportan como osciladores simples desacoplados. El proceso general para obtener estas coordenadas normales es, desde el punto de vista matemático, muy directo pero muchas veces desprovisto de sentido físico. El análisis de modos normales también juega un papel muy importante en Física del Estado Sólido donde se modelan los átomos en una red cristalina como un conjunto de masas unidas por resortes oscilando con frecuencias preestablecidas. Los modos normales de la red cristalina --fonones-- permiten explicar propiedades eléctricas y termodinámicas de los materiales. 
En los cursos universitarios, el estudio de las oscilaciones acopladas comienza usualmente en los cursos de Ondas o Mecánica Clásica con sistemas de dos grados de libertad. Normalmente se obtienen las ecuaciones de movimiento, se calculan las frecuencias normales y se incorporan los modos normales de oscilación como herramienta para describir la dinámica de los osciladores (1,2). Luego se incorpora el concepto de coordenadas normales como un artilugio matemático para desacoplar el sistema de ecuaciones diferenciales del movimiento y se muestra que verifican ecuaciones análogas a las de un movimiento armónico simple con la frecuencia de su modo normal. A diferencia de los modos normales de oscilación, donde en general se realizan diversos experimentos para excitar cada modo en particular, el uso de estas coordenadas normales queda relegado a un segundo plano, sin mayor interés del punto de vista práctico.
En cursos más avanzados de Mecánica Analítica, se retoma el estudio de los sistemas oscilatorios pero desde la perspectiva del formalismo de Lagrange. Se muestra en general que para sistemas con n grados de libertad el movimiento se puede describir a partir de un conjunto de igual número de coordenadas normales donde cada una de ellas oscila con una frecuencia normal definida. Nuevamente, al igual que en cursos básicos, la ausencia de experimentos donde se estudie expresamente la dinámica de las coordenadas normales puede inducir a los estudiantes a la falsa idea que dichas coordenadas no son más que un artificio matemático. 
En relación a experimentos orientados al análisis de modos normales y coordenadas normales en laboratorios de grado se han publicado varias propuestas (3-14). En un trabajo pionero (3) se estudia experimental y analíticamente los movimientos arbitrarios de un sistema de dos bloques oscilando acoplados. En este trabajo se utilizaban los medios tecnológicos disponibles en ese entonces para obtener la evolución temporal de la coordenadas de cada bloque y luego, resolviendo las ecuaciones de movimiento, obtener las coordenadas normales y compararlas con el modelo teórico. En otra propuesta (6) se experimenta con un sistema dos masas acopladas linealmente por medio de resortes --y no linealmente mediante un sistema magnético-- por medio del análisis de Fourier. Osciladores acoplados de naturaleza electromagnética también fueron considerados en el artículo (7). En este trabajo se miden experimentalmente las frecuencias normales por medio de circuitos auxiliares resonantes. 
En el trabajo de Wehrbein (8), orientado en general al análisis de video para estudiar conceptos de mecánica clásica, se analizan una serie de experimentos con cuerpos rígidos y sistemas oscilatorios, entre ellos, el seguimiento de las coordenadas normales para sistemas acoplados con dos grados de libertad. En dicho trabajo se utilizan los medios de video análisis del momento, lo que permitía solamente el análisis de sistemas oscilatorios lentos, debiéndose determinar en forma manual el centro de masas y la posición relativa de los osciladores a partir de las coordenadas de cada cuerpo. También vale la pena mencionar la referencia (9) donde se plantea un método para observar cada modo normal y medir las frecuencias normales aplicando una fuerza de frecuencia variable de forma de sintonizar el sistema en cada modo normal. 

Más recientemente, en una propuesta donde se emplean los sensores incorporados a los smartphones, Gimenez et al (13) presentan un estudio teórico y experimental de los modos normales en un sistema de dos osciladores, que oscilan en un plano, en este caso sobre una mesa sin rozamiento. A partir de los datos capturados por los sensores de los smartphones se obtienen los modos y las frecuencias normales que luego se comparan un modelo teórico. Lockhart et al (14) consideran un sistema de osciladores acoplados inspirado en mecánica cuántica donde se ajustan las masas y las constantes de los resortes para evitar cruces. 
A la luz de estos antecedentes, resulta pues de interés plantear experimentos de laboratorio donde se pueda acceder directamente a los coordenadas normales de un sistema sin perturbarlo. En este trabajo se propone un experimento que permite una obtención directa de las coordenadas normales sin perturbar el sistema, utilizando solamente el análisis de los videos de la experiencia a partir de los cuáles se obtienen las leyes horarias, los modos y las frecuencias. Estos resultados se comparan satisfactoriamente con los obtenidos de un cálculo teórico. Este experimento puede ser empleado en un laboratorio undergraduate avanzado en el que los estudiantes tengan conocimientos de Mecánica Clásica y Oscilaciones. 



2. Modos normales en sistemas acoplados 

Consideramos un sistema de dos masas acopladas unidas entre sí y a los extremos fijos también por medio de resortes como se indica en la figura 1. Tomamos como hipótesis que las masas de ambos bloques \(M_1\) y \(M_2\) son iguales a \(M\)  y las tres constantes elásticas \(k_1\),  \(k_1\) y  \(k_3\) son iguales entre sí e igual a \(k\). Los bloques pueden moverse en la dirección indicada y se desprecia el rozamiento entre los bloques y la superficie. Denominamos \(x_1\) y \(x_2\) a las coordenadas de cada bloque respecto a la posición de equilibrio y d a la distancia entre los bloques en la posición de equilibrio. Las ecuaciones de movimiento pueden escribirse fácilmente a partir de la segunda ley de Newton como (15-16)

\(M \frac{d^2 x_1}{dt^2} = - 2 k x_1 + k x_2\)  (1)
\(M \frac{d^2 x_2}{dt^2} = k x_1 - 2 k x_2\)  (2)

Podemos encontrar en forma directa sus coordenadas normales, sin necesidad de utilizar herramientas de mecánica analítica, sumando y restamos dichas ecuaciones, obteniendo directamente un sistema de ecuaciones desacoplado, para las coordenadas \(q_S = x_1 + x_2\) y \(q_A = x_1 - x_2\):

\(M \frac{d^2 q_S}{dt^2} = - k q_S\)  (3)
\(M \frac{d^2 q_A}{dt^2} = - 3 k q_A\)  (4)

donde \(q_S\) y \(q_A\) son las coordenadas normales del sistema, realizando cada una de ellas un movimiento armónico simple de frecuencias \(\omega_S = \sqrt{k/M}\) y \(\omega_A = \sqrt{3k/M}\), independientemente de las características del movimiento de cada uno de los cuerpos que componen el sistema.

Observemos que, como la posición del centro de masas medida desde la posición de equilibrio de cuerpo 1 es \(x_{cm} = 1/2 (x_1 + x_2 + d)\) y la posición del cuerpo 2 respecto al 1 es \(x_{2/1} = x_2 - x_1\), las coordenadas normales \(q_S\) y \(q_A\) están dadas por

\(q_S = 2 x_{cm} - d\)  (5) 
\(q_A = x_{2/1} - d\)  (6).

Vemos entonces como, dada la evolución temporal del centro de masas y la posición relativa de un cuerpo respecto al otro, se puede encontrar fácilmente la evolución temporal de cada coordenada normal, cuyas frecuencias de oscilación \(\omega_S\) y \(\omega_A\), se corresponden con las frecuencias de los modos normales de oscilación simétrico y antisimétrico del sistema de los dos cuerpos (1).


3. Configuración experimental

El sistema experimental se compone de dos deslizadores que se mueven sobre un riel de aire y tres resortes; uno de ellos uniendo los deslizadores entre sí y los otros dos uniendo cada uno de los deslizadores con los extremos del riel en disposición lineal como se indica en la figura 1. El riel de aire permite minimizar los efectos del rozamiento entre los deslizadores y el riel. El riel y los deslizadores (SF-9214), el set de 3 resortes (ME-9830) y la fuente de aire (SF-9216) fueron provistos por PASCO. Las masas de los deslizadores, medidas con balanzas electrónicas, resultaron \(M_1 = M_2 = 0.1868(4) kg\) que dentro del margen de incertidumbre pueden considerarse iguales. Por otro lado, las constantes de los resortes obtenidas mediante procedimientos estáticos también pueden considerarse iguales dentro del margen de incertidumbre: \(k_1 = k_2 = k_3 = 3.02(4) N/m\).



Figura 1. Esquema del dispositivo experimental compuesto por dos deslizadores unidos por resortes entre sí y a los extremos fijos. Para minimizar el rozamiento los deslizadores deslizan sobre un riel de aire.


El experimento consiste en apartar el sistema de la posición de equilibrio,  con la fuente de aire a máxima potencia, y registrar el movimiento de los deslizadores mediante una cámara digital. En este caso se utilizó la cámara incorporada al smartphone Samsung Galaxy S10e sujetada mediante un soporte con su eje óptico normal a la dirección del riel. El video digital obtenido se analiza utilizando el software libre Tracker (17). Este software se utiliza habitualmente para registrar el movimiento de masas puntuales en diversas situaciones, -por ejemplo la lenteja de un péndulo o la trayectoria de un proyectil-- mediante el registro de las coordenadas --expresadas el sistema de laboratorio-- en cada frame. Otras funcionalidades que permite es trabajar con un conjunto de sistemas de partículas y obtener las coordenadas de su centro de masas, así como estudiar el movimiento relativo entre diferentes partículas del conjunto (18-19). En este trabajo nos valemos de estas capacidades para determinar el centro de masas de un sistema conformado por los dos osciladores acoplados, así como las coordenadas de cada uno de los osciladores desde un sistema de referencia solidario al otro. 


4. Resultados experimentales

Determinamos la posición de los deslizadores, \(x_1 (t)\) y \(x_2 (t)\), mediante el seguimiento automático proporcionado por el software Tracker para condiciones iniciales arbitrarias. A partir del análisis del registro de la experiencia en video se obtienen las evoluciones temporales que se muestran en la figura 2. Como puede observarse los planeadores siguen un movimiento complejo que no es un movimiento armónico simple.


Figura 2. Evolución temporal de las coordenadas de los deslizadores para condiciones iniciales arbitrarias. 


Posteriormente, dadas las posiciones de los deslizadores en función del tiempo se determinaron con el software Tracker las evoluciones temporales de las coordenadas de la posición del centro de masas del sistema y del movimiento del deslizador 2 respecto al 1. Finalmente se determinó la evolución temporal de \(q_S\) y \(q_A\), las que se pueden observar en el gráfico de la figura 3, ajustadas por funciones sinusoidales. 



Figura 3. Evolución temporal de las coordenadas normales \(q_S\) (círculos azules) y \(q_A\) (círculos rojos) y curvas (líneas continuas) obtenidas mediantes ajustes no lineales a funciones sinusoidales.


De los parámetros de los ajustes, obtenemos las frecuencias normales \(\omega_S\) y \(\omega_A\), con su margen de incertidumbre

\(\omega_S = 3,843(1) rad/s\)

\(\omega_A = 6,789(1) rad/s\).

Nos referiremos a estas frecuencias como las obtenidas por el método de las coordenadas normales.
Para profundizar en la dinámica del sistema calculamos las frecuencias normales por el método tradicional que consiste en fijar las condiciones iniciales para que los deslizadores oscilen en los modos normales, en el simétrico y posteriormente en el antisimétrico. Denominamos este método como método de los modos normales. Al igual que en la primera parte adquirimos la evolución temporal de la coordenadas mediante el análisis de video (no mostrado aquí) y ajustamos los resultados a funciones sinusoidales. Las frecuencias obtenidas resultaron

\(\omega_S = 3,829(1) rad/s \)

\(\omega_A = 6,787(1) rad/s \)

valores levemente distintos a los obtenidos en el método de las coordenadas normales.


5. Discusión

En esta sección discutimos los resultados experimentales y los interpretamos a la luz de los resultados obtenidos en el modelo teórico. Siguiendo el modelo presentado en la sección 2 las frecuencias normales en el caso de un modelo de bloques y resortes ideales sin masa resultan \(\omega_S = \sqrt{k/M} = 4,02(3) rad/s\) y \(\omega_A = \sqrt{3k/M} = 6,96(5) rad/s\). Estos resultados presentan una desviación de entre el 2% y el 5% a las medidas experimentales. Para analizar las causas de esta discrepancia discutimos a continuación un modelo donde se toma en cuenta el efecto de la masa de los resortes.

El efecto de la masa de los resortes no es simple de incluir (20-22) . En el trabajo pionero de Chen (20) partiendo de la hipótesis que la velocidad de cada espira de un resorte es lineal con la distancia al extremo fijo, se desarrolla el lagrangiano del sistema y se encuentra una ecuación trascendental para las frecuencias normales de oscilación. En el caso de un sistema masa-resorte simple, en una primera aproximación, el efecto de dichas masas puede considerarse como una perturbación en la masa de los osciladores que se traduce en una masa efectiva igual a la del bloque más un tercio de la del resorte. Esta idea se puede utilizar, para cuantificar de manera simple el efecto de la masa de los resortes sobre las frecuencias normales de oscilación, cuando el sistema oscila en los modos simétrico y antisimétrico, sustituyendo el sistema de osciladores acoplados por un oscilador simple equivalente con una constante elástica y masa efectiva que depende de los parámetros del sistema.

En el modo normal de oscilación simétrico, el resorte central no se estira, por lo tanto los bloques de masa \(M\) y el resorte de masa m se comportan como si fueran un único cuerpo de masa \(2M+m\). Este nuevo cuerpo está unido por cada lado a dos resortes idénticos, cada uno con constante elástica k y masa \(m\). De esta manera, ambos resortes se comportan como un único resorte de constante elástica efectiva \(k_{ef} = 2 k\) y masa \(2m\). Bajo la aproximación que la masa de cada resorte aporta en ⅓ a la masa total del sistema, la masa efectiva del oscilador equivalente resulta \(M_{efectiva} = 2M + m + 2m/3\). Resultando entonces la frecuencia de oscilación en el modo simétrico:

 \(\omega_S = \sqrt{\frac{k_{ef}}{M_{ef}}} = \sqrt{\frac{k}{M+5m/6}}\).  (7)

Podemos hacer un análisis similar para el modo normal de oscilación antisimétrico. En este caso el punto medio del resorte central es un punto fijo, por lo que el sistema lo podemos dividir en dos mitades. Cada mitad está compuesta por un resorte de constante elástica \(k\) y masa \(m\), unido a un bloque de masa \(M\), que a su vez está unido a otro resorte que tiene la mitad de longitud del resorte original, por lo que tiene constante elástica \(2k\) y masa \(m/2\). Entonces este sistema tiene constante elástica efectiva \(k_{ef} = k + 2k\) y masa efectiva \(M_{efectiva} = M + (1/3)(m+m/2)\). Finalmente obtenemos la frecuencia de oscilación para el modo antisimétrico

\(\omega_A = \sqrt{\frac{3 k}{M + m/2}}\)     (8)

Estamos ahora en condiciones de comparar los resultados experimentales obtenidos por los métodos discutidos con los resultados de los modelos teóricos en función de las constantes de los resortes y de las masas de los deslizadores, considerando tanto el caso en que se desprecia la masa de los resortes, como aquél donde se toma en cuenta la corrección introducida por dicha masa. Estos resultados se pueden apreciar en la Tabla 1.

Tabla 1. Comparación entre resultados experimentales y modelos.



Observamos aquí que la concordancia para las frecuencias normales con los cuatro procedimientos es buena en todos los casos. En el caso de los resultados experimentales la pequeña discrepancia puede deberse al hecho que no es posible excitar únicamente un solo modo e inevitablemente se produce un batido donde la energía se transfiere de un modo a otro alternativamente. Por otro lado, la comparación con el modelo teórico también es muy satisfactoria, especialmente cuando se toma en cuenta la corrección debida a las masas de los resortes. 


6. Conclusión

En este trabajo desarrollamos un método experimental que permite visualizar en forma directa la evolución temporal de las coordenadas normales de un sistema conformado por dos osciladores acoplados que parte de condiciones iniciales arbitrarias. Gracias a las funcionalidades del análisis de vídeo provistas por el software Tracker es posible encontrar fácilmente la evolución temporal del centro de masas del sistema y del movimiento de un deslizador respecto al otro y posteriormente las coordenadas normales. Finalmente, observamos que la evolución de las coordenadas normales está dada por movimientos armónicos simples y medimos sus frecuencias por medio de ajustes no lineales. Comparamos los resultados obtenidos con la medida resultante de excitar cada uno de los modos normales por separado y con la predicción de modelos teóricos con y sin tomar en cuenta la corrección introducida por la masa de los resortes. La concordancia entre los resultados experimentales y la predicción de los modelos teóricos es muy buena en todos los casos. La consideración de la masa de los resortes mejora aún más la comparación.

Cabe destacar que la facilidad y rapidez con la que se pueden procesar los datos, hace a la actividad presentada adecuada no solo para cursos de laboratorio de grado, sino también para analizar directamente la filmación del experimento en clases teóricas utilizando por ejemplo metodologías activas tales como las Interactive Lecture Demonstrations (23). En este caso haciendo énfasis en la realización de actividades con secuencias del tipo POE (Predecir - Observar - Explicar). Finalmente, remarcamos que el aporte más significativo de este trabajo consiste en la posibilidad de mostrar en cursos avanzados de mecánica y ondas, la evolución temporal de las coordenadas normales, permitiendo a los estudiantes visualizar su dinámica y mostrar cómo dichas coordenadas no son un simple artilugio matemático para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales.


Agradecimientos

Este trabajo ha sido realizado gracias al apoyo del proyecto FSED_3_2019_1_157320 (ANII-CFE) y de CSIC Grupos I+D (UdelaR, Uruguay).


Referencias

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