Campo magnético de un tren eléctrico

CAMPO MAGNÉTICO GENERADO POR UN TREN ELÉCTRICO.
Medidas realizadas con Smartphone y comparadas con modelo simulado en Scilab.


Martín Monteiro*, Giovanni Organtini** and Arturo C. Martí***

* Universidad ORT Uruguay. monteiro@ort.edu.uy
** Universida di Roma La Sapienza, Italy. Giovanni.Organtini@roma1.infn.it 
*** Universidad de la República, Uruguay. marti@fisica.edu.uy


Proponemos un experimento sencillo para explorar el campo magnético creado por un ferrocarril eléctrico y compararlo con un modelo simple a partir de parámetros estimados usando información fácilmente disponible. Un peatón que camina sobre un paso elevado por encima de las vías del tren registra las componentes del campo magnético con el magnetómetro interno de un smartphone. Los resultados experimentales se comparan con éxito con un modelo del campo magnético de las líneas de transmisión y el campo magnético de la Tierra. Este experimento, adecuado para un viaje de campo, implica varias habilidades, como modelar el campo magnético de las líneas eléctricas, buscar información confiable y estimar cantidades no fácilmente accesibles.

Palabras clave: Electromagnetismo, Física con smartphones, Física en viaje, Scilab


Campos electromagnéticos. Vivimos rodeados de campos electromagnéticos que cubren todos los rangos de escalas espaciales y temporales. La mayoría de ellos son difíciles de medir o incluso de detectar. Las excepciones notables son los campos magnéticos estáticos o cuasiestáticos que se pueden detectar o medir con una brújula o con el sensor de un smartphone. En el pasado, se han propuesto experimentos con teléfonos inteligentes utilizando pequeñas corrientes [1-3], imanes [4,5] y el campo magnético de la Tierra [6]. Otro ejemplo, no tan obvio, consiste en utilizar los campos magnéticos producidos por las corrientes eléctricas de las líneas de suministro de energía eléctrica. La mayoría de los sistemas de potencia se basan en corrientes alternas (CA), de 50 Hz o 60 Hz y, como consecuencia, el campo magnético creado resulta difícil de medir. Sin embargo, algunos sistemas de electrificación de ferrocarriles funcionan con corrientes continuas (CC) y, por lo tanto, el campo magnético producido por las líneas aéreas (también conocidas como catenarias) se puede medir ocasionalmente. En este trabajo proponemos el análisis del campo magnético producido por los ferrocarriles eléctricos cerca de Roma.


El experimento. Los smartphones generalmente poseen magnetómetros integrados que se han empleado en varios experimentos de física [1-6]. El experimento propuesto aquí se realizó al aire libre en un lugar tranquilo a las afueras de Roma. Un peatón que camina sobre un paso elevado por encima de las vías del ferrocarril (que se muestra en la figura 1) registra el campo magnético con su smartphone. En ese momento, ningún tren se encontraba en las inmediaciones y no pasaba ningún otro vehículo cerca. Mientras el experimentador caminaba a una velocidad casi constante (~ 1 m/s), el smartphone se sostenía horizontalmente con la pantalla orientada hacia arriba. Este procedimiento es similar al método del "sobrevuelo" en un riel propuesto en [3]. Gracias a la aplicación Phyphox [7], las tres componentes del campo magnético se registraron mientras el peatón cruzaba el puente.


La comparación. El campo magnético es la suma de las contribuciones de los campos magnéticos del riel derecho (RD), el riel izquierdo (RI), la catenaria (C) y la Tierra (T), es decir: \( \vec B = \vec B_{RD} + \vec B_{RI} + \vec B_{C} + \vec B_{T} \) , con las corrientes y distancias esbozadas en la figura 2. Según la empresa ferroviaria, la potencia de los motores es de 2,2 MW y la tensión de las líneas es de 3,0 kV (CC), resultando una intensidad de aproximadamente I = 0,73 kA, aunque este valor puede varían dependiendo del número de trenes cercanos y sus aceleraciones. Suponemos también una corriente en un sentido a través de la catenaria y en el sentido contrario, de retorno, distribuidas uniformemente entre los dos rieles. La orientación de los rieles y la trayectoria del smartphone se obtuvieron de una imagen satelital. El sistema de referencia se eligió para que fuera el mismo del smartphone, con el eje x paralelo a los rieles, el eje y coincidiendo con el camino seguido por el smartphone, mientras que el eje z coincide con la vertical.

Las contribuciones producidas por las corrientes están dadas por la ley de Biot-Savart para una línea infinita,

\[ \vec B = \frac{\mu_0 i (-z)}{2 \pi r^2} \hat y + \frac{\mu_0 i (y)}{2 \pi r^2} \hat z \]


mientras que de la calculadora geomagnética de NOAA para esa ubicación, se obtuvieron las componentes del campo magnético de la Tierra (ver figura 1). Luego, las componentes a lo largo del eje mostrado en las figuras 1 y 2 se pueden escribir como,


\[ B_y = \frac{\mu_0}{2 \pi} \left( \frac{I}{2} \right) \frac{(-z)}{(y-a)^2+z^2} + \frac{\mu_0}{2 \pi} \left( \frac{I}{2} \right) \frac{(-z)}{(y+a)^2+z^2} + \frac{\mu_0}{2 \pi} \left( {-I} \right) \frac{(h-z)}{y^2+(z-h)^2} + B_{TH} · cos(\theta - \delta) \]

y

\[ B_z = \frac{\mu_0}{2 \pi} \left( \frac{I}{2} \right) \frac{(y-a)}{(y-a)^2+z^2} + \frac{\mu_0}{2 \pi} \left( \frac{I}{2} \right) \frac{(y+a)}{(y+a)^2+z^2} + \frac{\mu_0}{2 \pi} \left( {-I} \right) \frac{(y)}{y^2+(z-h)^2} + B_{TZ} \]


donde a es la separación entre los rieles, h es la altura de la catenaria y z es la altura del smartphone, cuyos valores se indican en las leyendas de las figuras.

El panel izquierda de la figura 3 muestra los resultados experimentales obtenidos por el experimentador ambulante mientras que el panel derecho traza el campo magnético correspondiente al modelo descrito anteriormente. La concordancia entre las mediciones de campo y el modelo se manifiesta claramente.


Efectos sistemáticos. A pesar de que los magnetómetros de los smartphones no son tan exactos [8], la medición puede ser bastante precisa y requiere algunas precauciones. La corriente que fluye por una línea de tren no es constante. La medición, entonces, no debe durar demasiado para evitar detectar cambios bruscos en la corriente. Además, la medición debe realizarse lejos de grandes objetos ferromagnéticos, como los vagones del tren u otros vehículos que pasen cerca.


Conclusión. El campo magnético producido por los ferrocarriles brinda la posibilidad de explorar los campos electromagnéticos que nos rodean. Las mediciones se pueden comparar con éxito con estimaciones basadas en información y datos razonables disponibles en Internet. Este experimento anima a los estudiantes a salir al aire libre y experimentar con herramientas cotidianas.


Referencias.

[1] N. Silva, "Magnetic field sensor," Phys. Teach. 50(6), 372 (2012). https://doi.org/10.1119/1.4745697

[2] R. D. Septianto, D. Suhendra and F. Iskandar, "Utilisation of the magnetic sensor in a smartphone for facile magnetostatics experiment: magnetic field due to electrical current in straight and loop wires," Phys. Educ. 52(1), 015015 (2017). https://doi.org/10.1088/1361-6552/52/1/015015

[3] M. Monteiro, C. Stari, C. Cabeza, and A. C. Martí, "Magnetic field ‘flyby’ measurement using a smartphone’s magnetometer and accelerometer simultaneously," Phys. Teach. 55(9), 580 (2017).

[4] V.O.M. Lara, D.F. Amaral, D. Faria, and L.P. Vieira, "Demonstrations of magnetic phenomena: measuring the air permeability using tablets," Phys. Educ. 49(6), 658 (2014). http://dx.doi.org/10.1088/0031-9120/49/6/658

[5] E. Arribas, I. Escobar, C.P. Suarez, A. Najera, and A. Beléndez, "Measurement of the magnetic field of small magnets with a smartphone: a very economical laboratory practice for introductory physics courses," Eur. J. Phys 36(6), 065002(2015). https://doi.org/10.1088/0143-0807/36/6/065002

[6] S. Arabasi and H. Al-Taani, "Measuring the Earth's magnetic field dip angle using a smartphone-aided setup: a simple experiment for introductory physics laboratories," Eur. J. Phys. 38(2), 025201 (2017). https://doi.org/10.1088/1361-6404/38/2/025201

[7] S. Staacks, S. Hütz, H. Heinke, and C. Stampfer, “Advanced tools for smartphone-based experiments: phyphox,” Phys. Educ. 53(4) 045009 (2018). https://doi.org/10.1088/1361-6552/aac05e

[8] M. Monteiro, C. Stari, C. Cabeza, and A. C. Martí, “An Approach to Teach Error Analysis and Uncertainties based on Mobile-device Sensors,” arXiv preprint arXiv:2005.13617 (2020).


Figura 1. La medición del campo magnético fue realizada por un peatón que caminaba sobre un paso elevado sobre las vías (panel izquierdo) que se muestran en la vista satelital (panel derecho). El eje x apunta en la dirección de las corrientes a través de las vías, opuesto a la corriente I a través de la catenaria (resaltadas en amarillo en el panel izquierdo) mientras que el eje y está a lo largo de la trayectoria del smartphone, y el eje z apunta verticalmente hacia arriba. Del sitio web de NOAA obtuvimos la componente horizontal del campo magnético de la Tierra, \(B_{TZ} = - 24,6 \mu T\), la declinación magnética, \(\delta = 3,45º \) y la componente vertical del campo magnético de la Tierra \(B_{TH} = -39,6 \mu T\). El ángulo del eje y con el norte  se midió sobre el mapa, \(\theta = 61,9º \).


Figura 2. Disposición de las corrientes y la trayectoria del smartphone. Los ferrocarriles (Jazz Trenitalia) de ancho estándar y la altura de la catenaria se tomaron del sitio web de la empresa mientras que la altura del puente se estimó a partir de las imágenes.


Figura 3. Comparación entre las medidas (captura de pantalla de Phyphox a la izquierda) y el cálculo obtenido con el modelo en Scilab (a la derecha).



APÉNDICE I. Campo geomagnético.

El campo magnético de la Tierra es relativamente complejo. Un campo de base dipolar con perturbaciones de orden superior que dependen de la ubicación geográfica, que además van cambiando levemente con el tiempo. En las últimas décadas se han desarrollado modelos bastante precisos para determinar el campo magnético en un punto determinado de la Tierra, para alguna época definida. Dos de los modelos más importantes son el World Magnetic Model (WMM) y el International Geomagnetic Reference Field (IGRF). La Administración Nacional Oceánica y Atmosférica de los Estados Unidos (NOAA - National Oceanic and Atmospheric Administration) posee una calculadora basada en estos modelos, con la cual es muy sencillo determinar el campo en cualquier punto de la Tierra. Basta con introducir las coordenadas geográficas (latitud y longitud). En el caso del experimento de nuestro experimento, la dirección es la siguiente (ver en Google Maps):

Via del Quadraro, 104
00174 Roma RM, Italia
Latitud: 41,854302º
Longitud: 12,550659º

La calculadora de la NOAA se puede acceder en este enlace: https://www.ngdc.noaa.gov/geomag/calculators/magcalc.shtml#igrfwmm

Al introducir la latitud, la longitud y la fecha, nos entrega la siguiente información: declinación (ángulo del campo con respecto al norte), inclinación (ángulo del campo con respecto a la horizontal), intensidad horizontal (proyección del campo en el plano horizontal), componente norte (proyección del campo en dirección del eje norte-sur), componente este (proyección del campo en dirección del eje este-oeste), componente vertical y campo total (módulo del vector de campo).




APÉNDICE II. Modelo en Scilab.

El código de más abajo es el que se utilizó para generar las gráficas del campo magnético que se muestran en la figura 3, de acuerdo al modelo presentado en el texto. Quien quiera verificarlo y/o modificarlo simplemente puede copiar y pegar el texto del programa en el SciNotes (el editor de texto donde se escriben los programas de Scilab) y ejecutarlo. Eso es todo. 

Scilab es un lenguaje de cálculo numérico, casi idéntico a Matlab, pero de código abierto. Se puede descargar libremente desde scilab.org, para utilizarse bajo cualquiera de los tres principales Sistemas Operativos.

///

//Conductor 1 (riel derecho) ubicado en y=a, z=0, tiene corriente en el sentido del eje x
//Conductor 2 (riel izquierdo) ubicado en y=-a, z=0, tiene corriente en el sentido del eje x
//Conductor 3 (cable) ubicado en y=0, z=h, tiene corriente en el sentido opuesto al eje x

I=733; //Corriente en la catenaria (Amperes). En cada riel la intensidad es la mitad. https://en.wikipedia.org/wiki/Railway_electrification_system
a=1.435/2; //Mitad de la distancia estándar entre rieles (m) https://en.wikipedia.org/wiki/Track_gauge
h=5.3; //Altura de la catenaria (m)
z=8.5; //Altura a la que se encuentra el camino seguido por el smartphone mientras se realizaban las medidas (m)
y=-15*a:0.01:15*a; //posiciones en el eje y, en las que se evalúa el campo (m)

//Campo terrestre para ese punto y en esa orientación (ver mapa y datos de NOAA)
BzT=-39.6e-6 //Componente z del campo terrestre según NOAA. Negativa porque es hacia abajo. El eje z del teléfono estaba hacia arriba
BH=24.6e-6 //Componente horizontal del campo terrestre según NOAA
ByT=BH*cosd(-3.45+61.9) //Componente y del campo terrestre.
//El ángulo de 3.45º es la declinación magnética según NOAA y 61.9º es el ángulo entre el norte y el camino seguido por el smartphone.

B1y=2e-7*I/2*(-z)./((y-a).^2+z^2); //Componente y del campo generado por el conductor 1
B1z=2e-7*I/2*(y-a)./((y-a).^2+z^2); //Componente z del campo generado por el conductor 1

B2y=2e-7*I/2*(-z)./((y+a).^2+z^2); //Componente y del campo generado por el conductor 2
B2z=2e-7*I/2*(y+a)./((y+a).^2+z^2); //Componente z del campo generado por el conductor 2

B3y=-2e-7*I*(-(z-h))./(y.^2+(z-h)^2); //Componente y del campo generado por el conductor 3
B3z=-2e-7*I*(y)./(y.^2+(z-h)^2); //Componente z del campo generado por el conductor 3

By=B1y+B2y+B3y+ByT;
Bz=B1z+B2z+B3z+BzT;

scf(1) //Gráficas de las componenentes y y z del campo magnético
subplot(2,1,1)
a=gca();
a.line_style=1
a.thickness=3
a.font_size=3.5
plot2d(y,By*1e6,2,rect=[-12,5,12,45])
xlabel("$y \mbox{ (m)}$","fontsize",5)
ylabel("$B_y \mbox{ (\mu} \mbox{T)}$","fontsize",5)
xgrid(1,1)

subplot(2,1,2)
a=gca();
a.line_style=1
a.thickness=3
a.font_size=3.5
plot2d(y,Bz*1e6,7,rect=[-12,-60,12,-20])
xlabel("$y \mbox{ (m)}$","fontsize",5)
ylabel("$B_z \mbox{ (\mu} \mbox{T)}$","fontsize",5)
xgrid(1,1)

///



Más física con smartphones:
http://smarterphysics.blogspot.com


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